Matematika

Limit Fungsi Aljabar: Bentuk Umum, Sifat, Rumus

Halo, sobat Edura! Kembali lagi nih dengan materi dari Matematika, yaitu Limit Fungsi Aljabar. Wah, apa tuh? Supaya lebih jelas, yuk kita simak materinya mengenai definisi, bentuk umum, sifat, dan rumus dari limit fungsi aljabar berikut ini!

Definisi dan Bentuk Umum Limit Fungsi Aljabar

Kata limit berasal dari bahasa Inggris, yang berarti mendekati (hampir). Sesuai dengan definisinya, jika dikatakan bahwa x mendekati 2, maka nilai x tersebut hanya mendekati nilai 2 tetapi tidak pernah bernilai 2.

Bentuk umum limit fungsi aljabar:

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L

dibaca: untuk x mendekati a, nilai f(x) mendekati L.

Sifat – Sifat Limit Fungsi Aljabar

Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi – fungsi yang yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta. Maka berlaku:

  1. \lim_{x \rightarrow a} c = c
  2. \lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n
  3. \lim_{x \rightarrow a} c f(x) = c \lim_{x \rightarrow a} f(x)
  4. \lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim_{x \rightarrow a} g(x)
  5. \lim_{x \rightarrow a} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \times \lim_{x \rightarrow a} g(x)
  6. \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}{\ lim_{x \rightarrow a} g(x)}
  7. \lim_{x \rightarrow a} f(x)^n = (\lim_{x \rightarrow a} f(x))^n
  8. \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar dibagi menjadi dua, yaitu limit fungsi untuk x mendekati a dan limit fungsi di titik tak berhingga. Berikut penjelasannya:

Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x Mendekati a

Misalkan f(x) memiliki nilai limit untuk x \rightarrow a. Maka, nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara:

Metode Subtitusi

Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan real dan nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Untuk memperoleh nilai limitnya, kita dapat mensubtitusikan secara langsung ke dalam fungsi tersebut.

Contoh:

Tentukan nilai dari \lim_{x \rightarrow 2} (2x - 7) !

Jawab:

Fungsi f(x) = 2x - 7 terdefinisi di setiap nilai x.

Maka, nilai dari limit fungsi di atas adalah:

\lim_{x \rightarrow 2} (2x - 7) = 2(2) - 7 = -3

Metode Pemfaktoran

Jika limit suatu fungsi dikerjakan dengan metode subtitusi menghasilkan nilai, maka kita harus menggunakan metode lain, misalnya pemfaktoran. Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktoran, berikut ini beberapa bentuk faktorisasi aljabar yang sering digunakan:

  1. x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
  2. x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2
  3. x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
  4. x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
  5. x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy +y^3)
  6. x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + x^{n-3}y^3 + … + y^n), untuk n bilangan bulat positif
  7. x^n + y^n = (x + y)(x^{n-1}y - x^{n-2}y^2 + x^{n-3}y^3 - … + y^n),

Contoh:

Tentukan nilai dari \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} !

Jawab:

\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} = \lim_{x \rightarrow 4} \frac{(x-4)(x+4)}{x - 4}

\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} = \lim_{x \rightarrow 4} (x + 4)

\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} = 4 + 4 = 8

Metode Mengalikan Faktor Sekawan

Limit fungsi yang akan kita tentukan nilainya dengan mengalikan faktor sekawan biasanya mengandung tanda akar. Beberapa bentuk faktor sekawan yang sering digunakan dalam menentukan limit fungsi diantaranya:

  1. (x - a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya.
  2. \sqrt{x} - a faktor sekawan dari \sqrt{x} + a dan sebaliknya.
  3. \sqrt{x} - \sqrt{y} faktor sekawan dari \sqrt{x} + \sqrt{y} dan sebaliknya.
  4. \sqrt{f(x)} - a faktor sekawan dari \sqrt{f(x)} + a dan sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2x - 1}}{x - 1}

Jawab:

Contoh limit dengan mengalikan faktor sekawan
Contoh limit dengan mengalikan faktor sekawan

Menentukan Nilai Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga

Suatu bilangan yang sangat besar (tak berhingga) dinotasikan dengan \infty. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila disubtitusi akan diperoleh hasil \frac{\infty}{\infty}, yaitu nilai \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}.

Rumus untuk menentukan nilai limit fungsi di titik tak berhingga:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} \times \frac{\frac{1}{x^m}}{\ frac{1}{x^m}}

Contoh:

Tentukan nilai dari \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^3 - 2x^2 +1}{2x^2 + x} !

Jawab:

Contoh limit di titik tak berhingga
Contoh limit di titik tak berhingga

Untuk f(x) = ax^m + bx^{m-1} + … + a_0 dan g(x) = px^n + qx^{n-1} + … + b_0, berlaku rumus cepat:

Rumus cepat menghitung limit fungsi aljabar
Rumus cepat menghitung limit fungsi aljabar

Nah, sekian materi tentang Limit Fungsi Aljabar: Bentuk Umum, Sifat, Rumus.

Terus latih kemampuan sobat dengan mengerjakan contoh soal Matematika lengkap ditautan berikut ini Latihan Soal Matematika.

Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram atau link disini ya.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close