Matematika

Persamaan Kuadrat: Pengertian, Bentuk Umum, Penyelesaian

Halo sobat Edura! Tak terasa, sebentar lagi teman – teman kelas 12 akan melaksanakan SBMPTN. Sudah sejauh mana nih persiapannya? Kali ini kami datang membawa materi baru yang asik untuk dipelajari oleh kalian, yaitu Persamaan Kuadrat.

Sebelum mencoba memahami materi Persamaan kuadrat, sobat dapat mempeljari tentang Teori Peluang di tautan berikut ini Teori Peluang.

Apakah kalian gemar menonton pertandingan atau bermain sepak bola? Jika iya, pasti kalian tahu bahwa permainan tersebut tidak luput dari gerakan menendang bola jauh yang arahnya membentuk kurva atau parabola. Gerakan ini merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat loh dengan besarnya gaya tendangan bola sebagai variabel yang mempengaruhi. Penasaran apa itu persamaan kuadrat? Yuk, simak pembahasannya!

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Berbeda dengan persamaan linear yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 1, pada persamaan kuadrat pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2, sehingga disebut sebagai persamaan kuadrat.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

dimana:
bilangan real dan
adalah variabel atau nilai yang belum diketahui dan memenuhi persamaan kuadrat tersebut

Contoh persamaan kuadrat adalah:

Bentuk PersamaanPersamaan Kuadrat (PK) / BukanAlasanNilai
3x^2 + 4x + 3 = 0PKSesuai dengan bentuk umuma=3, b=4, c=3
x^2 - 7 = 0PKMemiliki pangkat tertinggi 2a=1, b=0, c=-7
2x + 8 = 0Bukan PKPangkat tertinggi bukan 2
Tabel contoh persamaan kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara menyelesaikan soal – soal yang berbentuk persamaan kuadrat, yaitu:

Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku – suku aljabar menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi (rx+p)(sx+q)=0 . Metode ini mudah digunakan jika akar – akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini merupakan tabel model persamaan kuadrat dan berbagai cara pemfaktorannya:

No.SyaratModel PKPemfaktoranKetentuanAkar – Akar
1a=1x^2 + bx + c = 0(x+p)(x+q)=0p+q=b
pq=c
x_{1}=-p
x_{2}=-q
2a \neq 1
a \neq 0
ax^2 + bx + c = 0\frac{1}{a}(ax+p)(ax+q)=0p+q=b
pq=ac
x_{1}=-p
x_{2}=-\frac{q}{a}
3c=0ax^2 + bx =0x(ax+b)=0x_{1}=0
x_{2}=-\frac{b}{a}
Tabel model persamaan kuadrat dan berbagai cara pemfaktoran

Agar dapat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan metode ini, pertama kita harus mengetahui dulu model persamaan kuadrat yang akan diselesaikan. Jika model sudah diketahui, maka pemfaktoran dapat dilakukan dalam bentuk sesuai dengan tabel di atas.

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. Persamaan kuadrat dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0 diubah bentuk menjadi persamaan (x+p)^2 = q, dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan x^2+bx+c=0 didapatkan dengan cara:

p = \frac{1}{2}b

q = (\frac{1}{2}b)^2 -c

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:

(x+p)^2 = q

(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c

x^2 + bx + c = 0

Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Metode rumus ABC ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar – akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 didapatkan dari rumus ABC berikut:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sehingga, akar – akarnya adalah:

x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar – Akar Persamaan Kuadrat

Jika x_{1} dan x_{2} merupakan akar – akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, maka berlaku:

  1. Jumlah akar – akar persamaan kuadrat
    x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}
  2. Hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
    x_{1} \times  x_{2} = \frac{c}{a}
  3. Selisih akar – akar persamaan kuadrat
    x_{1} - x_{2} = \frac{\sqrt{D}}{a}

Diskriminan dan Sifat Akar – Akar Persamaan Kuadrat

Diskriminan adalah suatu nilai pada persamaan kuadrat yang membedakan banyaknya akar persamaan itu sendiri. Diskriminan juga memiliki arti hubungan antara koefisien dalam persamaan kuadrat untuk mencari akar persamaan dan ciri – ciri lainnya. Diskriminan dirumuskan dengan b^2 - 4ac dari sebuah persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0.

Hubungan diskriminan dengan sifat akar – akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

  1. Kedua akar real positif
    Syarat:
    D \geq 0
    x_{1} + x_{2} > 0
    x_{1} \times x_{2} > 0
  2. Kedua akar real negatif
    Syarat:
    D \geq 0
    x_{1} + x_{2} < 0
    x_{1} \times x_{2} > 0
  3. Kedua akar real berlawanan
    Syarat:
    D>0
    x_{1} + x_{2} = 0
    x_{1} \times x_{2} < 0
  4. Akar saling berkebalikan
    Syarat:
    D>0
    x_{1} \times x_{2} = 1
  5. Akar tidak real
    Syarat:
    D<0

Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Berikut adalah cara untuk menentukan persamaan kuadrat baru:

Akar – Akar BaruPersamaan Kuadrat Baru
\alpha dan \betax^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta = 0 
n \alpha dan n \beta\frac{a}{n^2}x^2 + \frac{b}{n}x + c = 0
\frac{1}{\alpha} dan \frac{1}{\beta}cx^2 + bx + a = 0
- \alpha dan - \betaax^2 - bx +c = 0
\alpha + n dan \beta + na(x-n)^2 + b(x-n) +c = 0
\alpha - n dan \beta - na(x+n)^2 + b(x+n) +c = 0
\alpha^1 dan \beta^2 a^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + c^2 =0
\frac{\alpha}{\beta} dan \frac{\beta}{\alpha} acx^2 - (b^2 - 2ac)x + ac
\alpha + \beta dan \alpha \times \betaa^2x^2 + (ab - ac)x - bc = 0
\alpha^3 dan \beta^3a^3x^2 + (b^3 - 3abc)x + c^3 = 0
\alpha^4 dan \beta^4a^4x^2 + (b^4 - 4ab^2c +2a^2c^2)x + c^4 = 0
Tabel bentuk persamaan kuadrat baru

Terus latih kemampuan sobat dengan mengerjakan contoh soal matematika lengkap ditautan berikut ini Latihan Soal Matematika.

Nah, sekian materi tentang Persamaan Kuadrat. Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Yuk, semangat belajar! Terutama untuk kalian siswa – siswi kelas 12 yang sebentar lagi akan melaksanakan SBMPTN. Semoga sukses!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close