Matematika

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel

Halo, sobat Edura! Hayoo, masih pada semangat gaa nih belajarnya? Kita kembali lagi nih dengan materi dari Matematika, yaitu tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel.

Dalam kehidupan sehari – hari, nilai mutlak ini banyak digunakan untuk operasi bilangan yang mengabaikan arah, seperti menghitung jarak terjauh yang bisa ditempuh sebuah mobil dengan bensin yang terisi penuh, toleransi selisih panjang dan lebar dari keramik yang dibuat oleh suatu pabrik, dsb. Untuk lebih memahami apa itu nilai mutlak, yuk kita simak materi mengenai pengertian, definisi, persamaan dan pertidaksamaan, serta sifat – sifat dari nilai mutlak satu variabel dibawah ini!

Pengertian dan Definisi Nilai Mutlak

Secara geometris, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Misalkan, nilai mutlak dari x ditulis \left | x \right |, yaitu jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu bernilai positif atau nol (tidak pernah bernilai negatif), maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap bilangan real.

Definisi dari nilai mutlak x:

Definisi nilai mutlak

yang berarti:

\left | x \right | = x jika x \geq 0
\left | x \right | = -x jika x < 0

Contoh:

  1. \left | 5 \right | = 5
  2. \left | 0 \right | = 0
  3. \left | -5 \right | = -(-5) = 5

Dari contoh di atas terlihat bahwa nilai mutlak dari bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Selanjutnya, perhatikan \sqrt{x^2}. \sqrt{x^2} akan bernilai x jika x \geq 0 dan bernilai -x jika x < 0. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Persamaan kuadrat

Jika kita perhatikan, bentuk di atas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karena itu, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real:

\left | x \right | = \sqrt{x^2}

Jika kedua ruas persamaan di atas dikuadratkan, akan diperoleh:

\left | x \right |^2 = x^2

Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak akan hilang jika dikuadratkan. Namun pada pembahasan kali ini, penyelesaian nilai mutlak akan berfokus pada bentuk linear tanpa melibatkan kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Berikut ini adalah beberapa bentuk umum dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel:

Bentuk | x | = a untuk a > 0

Sesuai dengan pengertian nilai mutlak, persamaan \left | x \right | = a berarti jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut:

Garis bilangan untuk persamaan nilai mutlak

Dari gambar di atas terlihat bahwa jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Jadi, harus berada dimanakah x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a?

Letak x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar garis bilangan di atas, yaitu x = -a atau x = a. terlihat dengan jelas bahwa jarak dari titik – titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari \left | 2x - 10 \right | = 6.

Jawab:

Jadi, himpunan penyelesaian dari \left | 2x - 10 \right | = 6 adalah \left \{ -2, 2 \right \}.

Bentuk | x | < a untuk a > 0

Pertidaksamaan \left | x \right | < a berarti jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut:

Garis bilangan untuk pertidaksamaan nilai mutlak

Letak x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik – titik diantara -a dan a. Letak x bisa ditulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, bisa dipastikan bahwa jaraknya ke 0 akan kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari \left | 2x - 3 \right | < 9.

Jawab:

Jadi, himpunan penyelesaian dari \left | 2x - 1 \right | < 7 adalah\left \{ -3 < x < 6 \right \}.

Bentuk | x | > a untuk a > 0

Pertidaksamaan \left | x \right | > a berarti jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut:

Garis bilangan untuk pertidaksamaan nilai mutlak

Letak x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik – titik yang lebih kecil dari -a dan lebih besar dari a. Letak x bisa ditulis x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, bisa dipastikan jaraknya ke 0 akan lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari \left | 2x + 4 \right | \geq 10.

Jawab:

Jadi, himpunan penyelesaian dari \left | 2x - 7 \right | = 3 adalah \left \{ x \leq -7 atau x \geq 3 \right \}.

Sifat – Sifat Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Berdasarkan nilai yang diperoleh dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak di atas, sifat – sifat nilai mutlak dapat dirangkum sebagai berikut:

Untuk a > 0, berlaku:

  1. \left | x \right | = a jika dan hanya jika x = a atau x = -a.
  2. \left | x \right | < a jika dan hanya jika -a < x < a.
  3. \left | x \right | > a jika dan hanya jika x < -a atau x > a

Nah, sekian materi tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel.

Terus latih kemampuan sobat dengan mengerjakan contoh soal Matematika lengkap ditautan berikut ini Latihan Soal Matematika.

Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram atau link disini ya.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

5 Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close